Кафедра 30, "Высшая математика"

 

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

(для 3-го семестра факультета "Т")

 

1-2 недели.

Квадрируемые фигуры на плоскости. Площадь фигуры. Множество меры нуль. Определение двойного интеграла. Классы интегрируемых функций на плоских областях. Свойства двойного интеграла. Теорема о среднем. Сведение двойного интеграла к повторному. Геометрический смысл модуля якобиана непрерывно дифференцируемого отображения. Замена пере­менных в двойных интегралах. Случай полярных координат. Вычисление площади гладкой поверхности.

3-4 недели.

Тройные и n-кратные интегралы от ограниченной функции в за­мкнутой области. Классы интегрируемых функций. Свойства тройно­го интеграла. Вычисление тройного интеграла. Замена переменных в тройных интегралах. Случай цилиндрических и сферических коорди­нат.

5-6 недели.

Определение криволинейного интеграла первого рода и его свойства. Сведение к интегралу по отрезку. Ориентированные кривые и криволинейный интеграл вто­рого рода. Связь между криволинейными интегралами первого и вто­рого рода.

     Формула Грина на плоскости. Вычисление площади плоской фигуры при помощи криволинейного интеграла. Условия незави­симости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

     Физические приложения. Работа силового поля, потенциальные векторные поля. Применение криволинейных интегралов.

     Односторонние и двусторонние поверхности. Площадь двусторонней поверхности.

     Определение поверхностного интеграла первого рода, его свойства, сведение к двойному интегралу.

     Ориентация двусторонней поверхности, положительная ориентация её края. Определение поверхностного интеграла второго рода, его свойства, сведение к двойному интегралу.

 

 Понятие поверхностных несобственных интегралов.

Формула Остроградского - Гаусса. Формула Стокса. Применение формул в физике.

7-8 недели.

Скалярные и векторные поля. Градиент скалярного поля и его свой­ства. Циркуляция векторного поля. Дивергенция векторного поля и её выражение в декартовых координатах. Ротор векторного поля и его вы­ражение в декартовых координатах. Дифференциальные векторные опе­рации второго порядка. Оператор Гамильтона Ñ и оператор Лапласа Δ.

     Потенциальное векторное поле. Критерий потенциальности поля.

Соленоидальное векторное поле. Критерий соленоидальности. Векторные линии и векторные трубки.

9 неделя.

     Восстановление скалярного поля по его градиенту. Восстановление векторного поля по его дивергенции и ротору.

Общие ортогональные криволинейные координаты. Коэффициенты Ламе. Выражение градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в ортогональных криволинейных координатах, в частности, в сферических и цилиндрических.

10-11 недели.

Понятие тензора. Примеры тензоров. Общее определение тензора. Действия над тензорами. Разложение аффинного ортогонального тензора  на симметричный и антисимметричный. Приведение симметричного тензора второго ранга к главным осям. Применение тензор ной символики в векторных операциях.

12-13недели.

     Интегралы, зависящие от параметра. Предельный переход под знаком интеграла. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование по параметру.

     Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Абсолютная сходимость, равномерная сходимость.

14-15 недели.

     Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла. Достаточные условия равномерной сходимости. Условия непрерывности несобственного интеграла по параметру. Условия интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла по параметру.

     Интегралы Эйлера. Основные свойства Г и  В – функций.    

16 неделя.

     Несобственные кратные интегралы. Интегралы от неотрицательных функций. Абсолютная сходимость. Признаки абсолютной сходимости.

 

Коллоквиум проводится на 7-й неделе.

Домашнее задание выдаётся на 8-й неделе, принимается на 14-й не­деле.

 

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1.	517 К88	Л.Д.Кудрявцев. Математический анализ, т. 2. М.: Высшая школа, 1988.
2.	517 И46	В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа, т. 2, любое издание.
3.	517 Д30	Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.  1990, 1995, 1997, 1998.

 

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

 

1.	517 И46	В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Б.Х.Сендов. Математический анализ. М.: МГУ, 1986.
2.	517 Н64	С.М.Никольский. Курс математического анализа. Т.1, 2. М.: Наука, 1989, 1990.