Кафедра 30, "Высшая математика"

 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

(для 2-го семестра факультета "Т")

 

1-2 недели.

Первообразная функция и неопределённый интеграл. Табли­ца основных интегралов. Интегрирование посредством замены переменного и по частям. Интегрирование некоторых рацио­нальных функций.

Разбиение отрезка, характеристика разбиения. Интеграль­ные суммы. Предел интегральных сумм. Определение интегри­руемой функции и определённого интеграла. Ограниченность интегрируемой функции.

Суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости ограниченной функции. Интегрируемость непрерывной функ­ции, монотонной функции и некоторых разрывных функций.

 3-4 недели.

Свойства определённого интеграла: линейность, аддитив­ность, интегрируемость произведения интегрируемых функций, свойства, выражаемые неравенствами. Теоремы о среднем. Не­равенство Коши-Буняковского.

Интеграл с переменным верхним пределом, его непрерыв­ность и дифференцируемость. Основная теорема интегрально­го исчисления. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление опре­делённого интеграла по частям и при помощи подстановки.

Некоторые приложения определённых интегралов. Вычисле­ние длины дуги гладкой кривой. Понятие площади плоской фи­гуры. Вычисление площади в декартовых и полярных координа­тах.

Объём и боковая поверхность тела вращения.

5-6 недели.

Несобственные интегралы по бесконечным промежуткам и от неограниченных функций. Сходимость. Критерий Коши. Прос­тейшие признаки сходимости.

Абсолютная и условная сходимость. Признаки Абеля и Ди­рихле. Замена переменного под знаком несобственного интег­рала. Интегрирование по частям. Понятие интеграла в смыс­ле главного значения. Первоначальное знакомство с некоторыми специальными функциями (Г- и В-функции, интегральный ло­гарифм и др.).

7-8 недели.

Понятие метрического и координатного n-мерного простран­ства. Определение евклидова пространства Е_n. Расстояние в Е_n. Неравенство Коши и неравенство треугольника. Понятие окрестности, внутренней, граничной точки множества, границы множества, открытого множества, замкнутой области. Сходящи­еся последовательности точек в Е_n. Критерий Коши сходимости последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Функция точки n-мерного евклидова пространства. Предел функции. Повторные пределы. Непрерывность функции в точ­ке и на множестве. Простейшие свойства непрерывных функ­ций. Непрерывность сложной функции. Свойства функций, не­прерывных на ограниченных замкнутых множествах. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.

9 неделя.

Понятие дифференцируемой функции и полного дифферен­циала. Частные производные и производные по направлению. Необходимые условия дифференцируемости функции. Достаточ­ные условия дифференцируемости функции. Класс функций . Частные производные сложных функций. Инвариантность фор­мы полного дифференциала первого порядка. Теорема Эйлера об однородных функциях. Понятие производной по направлению. Существование производной по любому направлению у диффе­ренцируемой функции.

 10 неделя.

Понятие гладкой поверхности. Способы задания поверхности (параметрический, в явном виде). Нормаль и касательная плос­кость к поверхности. Элемент площади поверхности. Градиент функции, его основные свойства. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.

Частные производные высших порядков, условия их незави­симости от порядка дифференцирования. Классы функций . Дифференциалы высших порядков. Теорема Лагранжа. Форму­ла Тейлора.

Экстремумы функций. Необходимые условия экстремума функции класса . Достаточные условия экстремума функции класса  двух и большего числа переменных.

11-12 недели.

Теорема о неявной функции, определяемой уравнением

  = 0.

Теоремы о неявной функции, определяемой уравнением  = 0

и о неявных функциях, определяемых системой уравнений (фор­мулировка). Якобианы и их свойства, вычисление производных неявных функций.

Понятие отображения. Взаимно-однозначное отображение. Обратное отображение. Дифференцируемое отображение, его дифференциал и производная.

13-15 недели.

Регулярное отображение и его свойства. Теорема о локальной обратимости регулярного отображения.

Понятие зависимости системы функций. Функциональная матрица Якоби, её ранг. Необходимые условия зависимости функций. Достаточные условия.

Условный экстремум. Необходимые условия условного эк­стремума при наличии связей (метод неопределённых множи­телей Лагранжа).

 

Коллоквиум проводится на 7-й неделе.

Контрольная работа проводится на 13-й неделе.

Домашнее задание ДЗ 4-11 выдаётся на 4-й неделе, прини­мается на 11-й неделе.

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1.	517 И46	В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа, т. 1-2. М.: Наука, 1982
2.	517(075) К88	Л.Д.Кудрявцев. Математический анализ,      т. 1-2. М.: Высшая школа, 1981, 1988.
3.	517 Д30	Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: На­ука, 1977,1990.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1.	517(075) И46	В.А.Ильин, В. А. Садовничий, Б.Х.Сендов. Математический анализ. М.: МГУ, 1985.
2.	517(07) Н64	С.М.Никольский. Курс математического анализа, т. 1-2. М.: Наука, 1974,1983,1990.
3.	517.2 Ф65	Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциаль­ного и интегрального исчисления, т. 1-3. М.: Наука, 1968,1969.

*  Книга находится в читальном зале.