Кафедра 30, "Высшая математика"

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

(для 4-го семестра факультета "Т")

 

 

1-5 недели.

Устойчивость, асимптотическая устойчивость и неустойчи­вость решений систем дифференциальных уравнений. Устойчи­вость линейных систем с постоянными коэффициентами. Иссле­дование устойчивости методом функции Ляпунова. Исследование устойчивости по первому приближению.

Классификация точек покоя системы двух линейных одно­родных уравнений с постоянными коэффициентами.

Первые интегралы системы обыкновенных дифференциаль­ных уравнений. Критерий первого интеграла.

Уравнения с частными производными первого порядка. Ли­нейное однородное уравнение и соответствующая система обык­новенных дифференциальных уравнений. Общее решение и зада­ча Коши для квазилинейного уравнения. Метод характеристик.

6-8 недели.

Линейное нормированное пространство. Линейные операто­ры и функционалы в нормированном пространстве. Непрерыв­ность и ограниченность. Обратный оператор. Линейные урав­нения в нормированных пространствах. Спектр и резольвента оператора и линейного уравнения второго рода. Вполне непре­рывные операторы.

Операторы в евклидовом (гильбертовом) пространстве. Са­мосопряжённый оператор и его норма. Собственные числа и собственные элементы, их свойства. Существование ненулево­го собственного числа и соответствующего собственного эле­мента вполне непрерывного самосопряжённого оператора, метод их нахождения. Максимальная ортонормированная система из собственных элементов. Теорема Гильберта-Шмидта. Формулы Шмидта решения линейного уравнения второго рода с вполне непрерывным самосопряжённым оператором.

9-13 недели.

Основные типы линейных интегральных уравнений. Уравне­ния Вольтерра. Уравнения Фредгольма второго и первого рода.

Существование и единственность решения уравнения Фред­гольма второго рода при малых значениях параметра и уравне­ния Вольтерра при любых значениях параметра. Спектр и ре­зольвента уравнения Фредгольма второго рода.

Уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром. Сведение к системе линейных алгебраических уравнений. Те­оремы Фредгольма. Интегральные уравнения с непрерывным ядром.

Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с самосо­пряжённым ядром в . Свойства собственных чисел и собствен­ных функций. Теорема Гильберта-Шмидта, теорема Гильберта и формулы Шмидта для уравнений с самосопряжённым ядром в .

Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с самосо­пряжённым непрерывным ядром. Спектр. Теорема Гильберта-Шмидта, формулы Шмидта для этих уравнений.

Понятие об уравнении Фредгольма первого рода.

14-15 недели.

Постановка краевых задач первого, второго, третьего рода, а также с общими краевыми условиями для линейных обыкновен­ных дифференциальных уравнений второго порядка. Физическая трактовка. Решение неоднородной краевой задачи, функция Гри­на.

Задача Штурма-Лиувилля. Эквивалентность задачи Штурма-Лиувилля и однородного интегрального уравнения. Свойства собственных чисел и собственных функций задачи Штурма-Ли­увилля. Разложение решения неоднородной краевой задачи по собственным функциям. Теорема Стеклова. Условия неотрица­тельности и положительности спектра задачи Штурма-Лиувил­ля.

 

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1.	517(075) В67	Е.А.Волков, П.И.Лизоркин. Дифференциальные уравнения. М.: МИФИ, 1978.
2.	517(075) В67	Е.А.Волков, П.И.Лизоркин. Интегральные и дифференциальные уравнения. М.: МИ­ФИ, 1977.
3.	517 Л55	П.И.Лизоркин. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнитель­ными главами анализа. М.: Наука, 1981.
4.	517 К76	М.Л.Краснов, А.И.Киселёв, Г.М.Макаренко. Интегральные уравнения, задачи и упражнения. М.: Наука, 1976.
5.	517 Ф53	А.Ф.Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1973, 1979, 1985.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1.*	517 Т46	А.Н.Тихонов, А.П.Васильева, А.Г.Свешников. Дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1980, 1985.
2.	517.9 Э53	Л.Э.Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: На­ука, 1969.
3.*	517 К27	А. П. Карташов, Б. Л. Рождественский. К27    Обыкновенные дифференциальные уравне­ния и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1986.

 

 

* Книга находится в читальном зале.