Кафедра 30, "Высшая математика"

 

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

(для 4-го семестра факультета "Т")

 

 

1 неделя.

Последовательности и ряды комплексных чисел. Функции комплексного переменного. Последовательности и ряды функ­ций комплексного переменного. Степенные ряды. Круг и радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара. Опреде­ление некоторых элементарных функций с помощью степенных рядов.

2-3 недели.

Производная. Условия Коши-Римана. Аналитические функ­ции и их простейшие свойства. Гармонически сопряжённые па­ры функций. Геометрический смысл модуля и аргумента про­изводной. Понятие конформного отображения в точке и области. Теорема Римана (формулировка). Принцип соответствия границ и взаимно-однозначного соответствия (формулировка). Дробно-линейное отображение и его свойства.

4 неделя.

Отображения, осуществляемые некоторыми элементарными функциями. Обратная функция. Области однолистности элемен­тарных функций. Понятие о точках ветвления и поверхностях Римана функций , . Регулярные ветви многозначных функций. Конформные отображения некоторых стандартных об­ластей (полуплоскости, полосы, круга и т.п.).

5 неделя.

Интеграл функции комплексного переменного. Теоремы Коши. Первообразная. Формула Лейбница и формула интегрирова­ния по частям. Интегральная формула Коши.

6 неделя.

Интеграл типа Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Теорема Мореры. Теорема о среднем и принцип максимума модуля аналитической функции.

7 неделя.

Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании равномерно сходящихся рядов аналитических функций. Аналитичность суммы степенного ряда внутри круга сходимости. Раз­ложение аналитической функции в ряд Тейлора и его единствен­ность.

8 неделя.

Свойства изолированности нулей аналитической функции. Единственность аналитической функции.

Ряд Лорана. Теорема Лорана о разложимости в ряд Лорана функции, аналитической в кольце. Единственность лорановского разложения.

9 неделя.

Неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана. Теорема Лиувилля. Понятие особой точки аналитической функции. Изо­лированные особые точки и их классификация. Поведение анали­тической функции в окрестности изолированных особых точек. Теорема Сохоцкого (формулировка).

10-11 недели.

Вычет аналитической функции относительно конечной и бес­конечно удалённой изолированных точек. Приёмы вычисления вычетов. Основные теоремы о вычетах. Логарифмический вы­чет. Принцип аргумента. Основная теорема алгебры. Целые и мероморфные функции. Теорема о разложении элементарной функции на простейшие дроби.

12 неделя.

Аналитическое продолжение и его единственность. Продол­жение вдоль цепи областей, с помощью рядов, вдоль кривой. По­нятие полной аналитической функции. Теорема о монодромии. Выделение регулярных ветвей. Принцип непрерывности. При­ложение теории вычетов к вычислению интегралов.

13-15 недели.

Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение по Лап­ласу. Аналитичность изображения в полуплоскости и поведение на бесконечности. Обращение преобразования Лапласа. Достаточные условия существования оригинала (без доказательства). Свойства преобразования Лапласа: линейность, подобие, диффе­ренцирование и интегрирование оригинала и изображения, тео­ремы запаздывания, смещения и умножения. Теорема разложе­ния Хевисайда. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных уравнений.

Контрольная работа проводится на 7-й неделе.

Домашнее задание выдаётся на 8-й неделе, принимается на 15-й неделе.

 

 

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

 

1.*	517.5(07) Б66	А.В.Бицадзе. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 1972, 1984.
2.	517(075) П76	А.И.Прилепко, Д.Ф.Калиниченко. Введение в теорию аналитических функций. М.: МИФИ, 1978.
3.	517 П76	А.И.Прилепко, Д.Ф.Калиниченко. Вычеты и их приложения. М.: МИФИ, 1979.
4.	517 А64	А.И.Прилепко и др. Аналитические функ­ции и конформные отображения (методи­ческая разработка). М.: МИФИ, 1979.
5.	517 К63	А.И.Прилепко и др. Комплекснозначные интегралы и операционное исчисление (ме­тодическая разработка). М.: МИФИ, 1979.
6.	517.5 В68	Л.И.Волковыский, Г.Л.Лунц, И.Г.Арама-нович. Сборник задач по теории функ­ций комплексного переменного. М.: Наука, 1970, 1975.
7.	517.5(07) С24	А.Г.Свешников.А.Н.Тихонов. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1974.
8.	515 Ш34	С.В.Шведенко. Комплексные числа и их  изображение. М.: МИФИ, 2000.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1.	517.5 Л13	М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
2.*	517 С34	Ю.В.Сидоров, М.В.Федорюк, М.И.Шабунин. Лекции по теории функций комплекс­ного переменного. М.: Наука, 1982.
3.	517.5(07) К17	Д.Ф.Калиниченко. Сборник задач по теории функций комплексного переменного.М.: МИФИ, 1972.

 

* Книга находится в читальном зале.