Кафедра 30, «Высшая математика»

 

ОБЫКНОВЕННЫЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

(для 3-го семестра факультета «Т»)

 

1-3 неделя.

     Понятие дифференциального уравнения, его порядок. Примеры задач естествознания, приводящих к простейшим дифференциальным уравнениям. Определение решения уравнения, интегральной кривой. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности для уравнения первого порядка. Общее и частное решения, частный и общий интеграл. Геометрическая интерпретация задачи интегрирования дифференциального уравнения первого порядка.

     Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной. Общий метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро. Понятие особого решения, методы его нахождения.

4неделя.

      Дифференциальное уравнение n-го порядка: определение решения, постановка задача Коши, формулировка теоремы существования и единственности, общее и частное решения, общий интеграл. Методы понижения порядка.

5-7 недели.

     Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка и линейный дифференциальный оператор n-го порядка. Однородные линейные уравнения: свойства решений, определитель Вронского системы функций, линейная зависимость (независимость) произвольной системы функций и системы решений. Фундаментальная система решений (ФСР), теоремы о существовании фундаментальной системы решений и об общем решении, построение фундаментальной системы решений однородного линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные уравнения: свойства решений, метод вариации произвольных постоянных, случай неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

8-11 недели.

     Системы  обыкновенных дифференциальных уравнений: каноническая и нормальная форма системы, порядок системы, решение уравнения. Постановка задачи Коши для системы, Формулировка теоремы существования и единственности для системы. Общее и частное решения. Нормальная система линейных дифференциальных уравнений, операторная форма записи. Линейные однородные системы: свойства решений, определитель Вронского системы вектор-функции и системы решений, фундаментальная система решений (ФСР), теоремы о существовании фундаментальной системы решений и об общем решении, построение фундаментальной системы решений для систем с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные системы: свойства решений, теорема об общем решении, метод вариации постоянных.

12-13недели.

      Доказательство теоремы существования и единственности решения  задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Непрерывная зависимость решения от параметров и начальных данных. Зависимость гладкости решения системы от гладкости правой части.

14-16 недели.

     Элементы вариационного исчисления. Основные понятия и примеры. Необходимое условие экстремума функционала. Основная лемма вариационного исчисления. Задача с закреплёнными концами для простейшего функционала, уравнение Эйлера. Задача с закреплёнными концами для функционала, зависящего от нескольких функций, система уравнений Эйлера. Задача с закреплёнными концами для   функционала с высшими производными, уравнение Эйлера-Пуассона. Вариационная задача для функционала, зависящего от функции нескольких переменных, уравнение Эйлера-Остроградского.

 

     Домашнее задание ДЗ 1-5 выдаётся на  1-й неделе, принимается на 5-й неделе.

     Контрольная работа проводится на 11-й неделе.

 

 

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1.*	517(075) В67	Е.А.Волков, П.И.Лизоркин. Дифференциальные уравнения. М.:МИФИ, 1978.
2.*	517(075) В67	Е.А.Волков, П.И.Лизоркин. Интегральные и дифференциальные уравнения. М.:МИФИ, 1977.
3.	517 Ф53	А.Ф.Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1973, 1979, 1985.
4.*	517(075) В67	Е.А.Волков, П.И.Лизоркин. Дифференциальные уравнения и элементы вариационного исчисления. М.:МИФИ, 1978.
5.	517 Л55	П.И.Лизоркин. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М.: Наука, 1981.
6.	517 Л47	А.С.Леонов, Н.П.Волков. Сборник задач по вариационному исчислению и уравнениям математической физики. М.:МИФИ, 1995.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1.*	517 Т46	А.Н.Тихонов, А.П. Васильева, А.Г. Свешников. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980, 1985.
2.	517.9 Э53	Л.Э.Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и их вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
3.	517 П56	Л.С.Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1961, 1965, 1974, 1978, 1982.
4.*	519.3(075) К78	М.Л.Краснов, А.И.Киселёв, Г.И.Макаренко. Вариационное исчисление. Задачи и упражнения. М.: Наука, 1973.

 

* Книга находится в читальном зале.