Кафедра 30, «Высшая математика».

 

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

(для групп Т5-01, 0la, 25, 25а, 37, 38)

1 неделя. 

     Математическое моделирование физических процессов. Понятие дифференциального уравнения с частными производными и его (класси­ческого) решения. Основные уравнения математической физики: малых поперечных колебаний струны и мембраны, малых продольных колеба­ний стержня, теплопроводности и диффузии, гидрогазодинамики, элек­тромагнитного поля (Максвелла), кинетическое уравнение.

2-3 недели.

Постановки и физический смысл краевых задач трёх основных ти­пов для дивергентного уравнения эллиптического типа, задачи Коши, смешанно-краевых задач основных типов для уравнений гиперболичес­кого и параболического типов. Корректность постановки задач. Пер­воначальные понятия классического и обобщённого решения задач для уравнений математической физики.

Понятие характеристической формы и классификация линейных уравнений с частными производными второго порядка. Приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго по­рядка с двумя независимыми переменными и уравнений с постоянными коэффициентами со многими независимыми переменными.

Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции, их основные свойства.

4-5 недели.

Метод Фурье (метод разделения переменных) решения смешанных задач для уравнений гиперболического и параболического типов. Усло­вия разрешимости и единственности решения задач.

 6 неделя.

Интегральные преобразования Фурье.

 

Уравнения эллиптического типа

 

7-8 недели.

     Определение гармонической функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Формулы Грина. Свойства гармонических функ­ции: формулы среднего арифметического, принцип экстремума и др. Внутренняя и внешняя задачи Дирихле, единственность и устойчивость их решений.

Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа, её свойства. Решение задачи Дирихле с помощью функции Грина.

9 неделя.

Построение функции Грина с помощью электростатических изобра­жений. Построение решений задачи Дирихле в шаре (круге), полупро­странстве (полуплоскости). Формулы Пуассона.

10 неделя.

Интегралы типа потенциала. Потенциал объёмных масс и его свой­ства.

11 неделя.

Решение первой краевой задачи для уравнения Пуассона с помощью функции Грина. Формулы Гаусса.

Потенциалы простого и двойного слоя и их основные свойства. Фор­мулы скачка.

12 неделя.

Внутренняя и внешняя задачи Неймана. Необходимые условия их разрешимости и единственности решений.

Сведение внутренних и внешних задач Дирихле и Неймана к ин­тегральным уравнениям. Корректность постановки краевых задач для уравнения Пуассона.

Уравнения гиперболического типа

13-14 недели.

Задача Коши для однородного и неоднородного волнового уравне­ния в одно-, дву- и трёхмерном пространствах и её решение (формулы Даламбера, Пуассона, Кирхгофа). Запаздывающий потенциал. Харак­теристики. Понятия области зависимости, области влияния и области определения. Принцип Гюйгенса. Передний и задний фронты волны. Диффузия волн.

Метод характеристик. Решение задачи Коши и смешанной задачи на полупрямой для уравнения гиперболического типа с двумя независи­мыми переменными методом распространяющихся волн. Задача Гурса и др.

 

Уравнения параболического типа

 

15-16 недели.

Решение задачи Коши-Дирихле для уравнения теплопроводности. Фундаментальное решение и функция источника. Смешанная задача. Принцип экстремума. Единственность и устойчивость решений задач для уравнений теплопроводности. Решение задач о распространении тепла в пространстве и полупространстве.

 

Домашнее задание выдаётся на 3-й неделе, принимается на 12-й не­деле.

 

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1.	517 Б66	А.В.Бицадзе. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1976, 1982.
2.	517(075) Т46	А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1966, 1972.
3.	517 Б66	А.В.Бицадзе, Д.Ф.Калиниченко. Сборник задач по уравнениям математической физики. - М.: Наука, 1985.
4.	517 Б90	Б.М.Будак, А.А.Самарский, А.Н.Тихонов. Сбор- ник задач по уравнениям математической физи­ки. - М.: Наука, 1972.
5*	517(07) Б66	А.В.Бицадзе, Д.Ф.Калиниченко, А.И.Прилепко. Классификация уравнений математической фи­зики. Решение задач для уравнений эллиптичес­кого типа. - М.: МИФИ, 1978.
6*	517(07) Б66	А.В.Бицадзе, Д.Ф.Калиниченко, А.И.Прилепко. Решение задач для уравнений гиперболического и параболического типов. - М.: МИФИ, 1978.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1*.	517.6 А85	В.Я.Арсенин. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974.
2.	517 В57	В.С.Владимиров. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976, 1981.

 

* Книга  находится в читальном зале.