Кафедра 31, “Прикладная математика”

 

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

(для группы Т5-07, 07а, 11, 21, 39, 40)

 

1-2 недели.

Краткая характеристика предмета. Прикладные задачи вида Au=f. Связь их с физическим экспериментом.

Простейшие типичные задачи в рамках линейных и нелинейных моделей: уравнения малых поперечных колебаний струны и мембраны (на упр.), малых продольных колебаний стержня (упр.), уравнения гидродинамики и акустики (упр.), уравнения для напряженностей электрического и магнитного полей в вакууме, уравнения теплопроводности и диффузии.

Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка с двумя и многими независимыми переменными. приведение уравнений к каноническому виду в случае двух независимых переменных.

3 неделя.

Простейшие типы краевых условий. Их физический смысл. Постановка краевых задач и задачи Коши. Понятие корректно поставленных и некорректно поставленных задач. Примеры некорректно поставленных задач.

4-5 недели.

Метод Фурье (метод разделения переменных) решения краевых задач для уравнения гиперболического и параболического типов.

Сущность метода Фурье. Понятие собственных значений и собственных функций и их основные свойства. Примеры. Стоячие волны.

Решение неоднородных краевых задач методом Фурье. Единственность решения краевых задач.

6-7 недели.

Понятие обобщенных функций, -функция Дирака и ее основные свойства. Применение - функции при решении краевых задач с сосредоточенными факторами.

8-9 недели.

Метод функций Грина решения краевых задач и задачи Коши для уравнений параболического типа.

Сущность метода функций Грина. Понятие функций Грина задачи Коши для уравнения теплопроводности. Ее физический смысл. Построение задачи Коши с помощью функций Грина.

Построение функций Грина для простейшего уравнения теплопроводности в одномерном и многомерном случаях. Устойчивость решения задачи Коши к малым изменениям исходных данных.

Теорема о наибольшем и наименьшем значениях решения уравнения теплопроводности. Ее физическая сущность. Корректность задачи Коши.

10-11 недели.

Метод функций Грина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.

Формула Грина (1-ая и 2-ая).

Гармонические функции и их основные (простейшие) свойства.

Понятие функций Грина и их простейшие свойства. Решение краевых задач с помощью функций Грина. Построение функций Грина для простейших областей. Единственность решения краевых задач.

12 -13 недели.

Метод характеристик для гиперболических систем линейных и квазилинейных уравнений.

Понятие характеристических направлений и характеристик для одного уравнения и систем уравнений. Приведение системы к характеристической форме. Классификация систем. Бегущие волны.

Решение задачи Коши для волнового уравнения в одномерном, двумерном и трехмерном случае. Связь с принципом Гюйгенса. Устойчивость решения относительно начальных данных. Понятие обобщенного решения.

Возможность образования разрывов в решениях нелинейных уравнений и систем. Понятие о численном решении задач методом характеристик.

14-16 недели.

Сведение краевых задач к решению интегральных уравнений. Потенциалы (объемного, простого и двойного слоя). Их основные свойства. Решение краевых задач для уравнений Лапласа с помощью потенциалов. Понятие запаздывающих потенциалов.

 

Упражнения следуют за лекционным материалом.

Домашнее задание выдается на 3-й неделе, принимается на 11-ой неделе.

 

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1.*	517.6. 517    А-85	Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974, 1984.
2.	517 Т-46	Самарский А.А., Тихонов А.Н., Уравнения  Математической физики. М.: Наука, 1972.
3.	517 Б-90	Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1972.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1.*	517.9 П-30	Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961
2.*	517 С-50	Смирнов В.И. Курс высшей математики, Том II. М. Физматгиз, 1965.
3.*	517.6 Л-33	Лебедев Н.Н., Скальская Н.П., Уфлянд Я.И. Сборник задач по математической физике. ГТИ, 1955.
4.*	517.6  А-85	Арсенин В.Я. Математическая физика. М.: Наука, 1966.
5.	517 Б-66	Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.

* Книга находится в читальном зале