Кафедра 30, "Высшая математика"

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

(для 2-го семестра факультета "Т")

1 неделя.

Матрицы. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре, теоре­ма о ранге матрицы, теорема об элементарных преобразованиях матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

 2-3 недели.

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения: решение, общее решение, частное решение. Сов­местные и несовместные системы, эквивалентность систем.

Квадратные системы линейных уравнений. Теорема Краме­ра.

Критерий совместности систем линейных уравнений общего вида (теорема Кронекера-Капелли). Метод Гаусса решения сис­тем линейных уравнений. Базисные и свободные неизвестные.

Однородные системы. Свойства решений (существование, линейность множества решений). Фундаментальная система ре­шений. Теорема о числе векторов в фундаментальной системе решений. Структура общего решения однородной системы.

Неоднородные системы. Структура общего решения совмест­ной неоднородной системы.

4-5 недели.

Линейные пространства. Аксиоматика линейного простран­ства, простейшие теоремы, примеры. Линейно зависимые и ли­нейно независимые системы векторов, общие утверждения. Ба­зис и размерность линейного пространства. Конечномерные и бесконечномерные пространства. Координаты вектора в данном базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому: преобра­зование координат вектора при переходе к новому базису.

Подпространство. Сумма и пересечение подпространств. Ли­нейные оболочки, теорема об их размерности. Разложение пространства в прямую сумму подпространств. Геометрическая ин­терпретация общего решения однородной и  неоднородной  систем  линейных  уравнений.

 6-9 недели.

Линейные операторы в конечномерном линейном простран­стве. Определение линейного оператора. Примеры. Образ и ядро линейного оператора. Матрица линейного оператора в данном базисе. Связь между линейными операторами и квадратными матрицами. Преобразование матрицы оператора при переходе от одного базиса к другому.

Действия с линейными операторами. Обратный оператор, его свойства. Критерий обратимости линейного оператора.

Пространства, инвариантные относительно оператора. Соб­ственные векторы и собственные значения линейного операто­ра, их свойства. Характеристическое уравнение. Система для нахождения координат собственных векторов. Диагонализуемые операторы, критерий диагонализуемости. Примеры недиагонализуемых операторов.

 10-11 недели.

Линейные, билинейные и квадратичные формы в действи­тельном линейном пространстве.

Линейные формы. Определение, задание в фиксированном ба­зисе. Преобразование коэффициентов линейной формы при пере­ходе к новому базису.

Билинейные формы. Определение, задание в фиксированном базисе. Преобразование матрицы билинейной формы при пере­ходе к новому базису. Симметричные и кососимметричные би­линейные формы.

Квадратичная форма, полярная билинейная форма. Приве­дение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Силь­вестра положительной определённости квадратичной формы.

12-13 недели.

Евклидовы пространства. Определение евклидова простран­ства. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника.

Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Существование ортонормированного базиса.

Ортогональное дополнение пространства. Разложение евкли­дова пространства в прямую сумму подпространства и его ор­тогонального дополнения. Проектирование на подпространство.

Переход от одного ортонормированного базиса к другому. Ор­тогональные матрицы.

14-15 недели.

Операторы в евклидовом пространстве. Оператор, сопряжён­ный данному в E_n, его свойства. Матрица сопряжённого опе­ратора. Самосопряжённый оператор, его матрица. Структура спектра самосопряжённого оператора. Существование ортонор­мированного базиса из собственных векторов у самосопряжённо­го оператора.

Ортогональные базисы в E_n.

Квадратичные формы в E_n. Приведение квадратичной фор­мы к каноническому виду ортогональным преобразованием. При­менение к классификации поверхностей второго порядка.

Одновременное приведение к каноническому виду двух квад­ратичных форм.

Домашнее задание ДЗ 2-10 выдаётся на 2-й неделе, прини­мается на 10-й неделе.

Контрольная работа проводится на 12-й неделе.

 

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1.	512 И46	В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Линейная алгебра. М.: Наука,1984.
2.*	512.8 П82	И.В.Проскуряков. Сборник задач по линей­ной алгебре. М.: Наука, 1979,1984.
3.*	51 П76	А.И.Прилепко, Е.Б.Сандаков. Матрицы и линейные пространства. М.: МИФИ, 1981.
4.	51 П76	А.И.Прилепко, Е.Б.Сандаков. Тензорная алгебра и самосопряжённые операторы. М.: МИФИ, 1982.
5.	51 П76	А.И.Прилепко, Е.Б.Сандаков. Нормальные операторы и квадратичные формы. М.: МИФИ, 1981.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1.*	51 Л59	Линейная алгебра (методическая разработка к решению задач по курсу "Линей­ная алгебра"). М.: МИФИ, 1976, 1980.
2.	51 Б42	Д.В.Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1974, 1976, 1980, 1984, 1987.
3.	51 Б90	Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геомет­рии. М.: Наука, 1984.
4.	51 Б42	Д.В.Беклемишев. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983.

 

* Книга находится в читальном зале.