Кафедра 31, “Прикладная математика в физике и экономике”

 

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

(для групп Т6-07, 07а, 11, 21, 39, 35,40)

1, 2 недели

Введение. Краткая характеристика предмета.

А. Гамма- и бета- функции

Определение гамма-функции и ее основные свойства: область определения, непрерывности и аналитичности; функциональные соотношения; отсутствие нулей; аналитическое продолжение. Логарифмическая производная гамма-функции. Определение бета-функции. Связь ее с гамма-функцией. Ее основные свойства.

3 неделя

Б. Цилиндрические функции

Уравнения цилиндрических функций. Построение его решения в виде обобщенного степенного ряда. Функция Бесселя. Область их определения, непрерывности и аналитичности. Рекурентные формулы.

4 неделя

Функции Неймана. Линейная независимость их с функциями Бесселя. Ортогональность функций Бесселя и их норма.

5 неделя

Теорема о поведении фундаментальной системы решений линейного дифференциального уравнения второго порядка вблизи его особых точек.

Теоремы о нулях цилиндрических функций.

6 неделя

Определение функций Ганкеля и модифицированных цилиндрических функций  и др., и их простейшие свойства.

7, 8 недели

Понятие асимптотического разложения (представления) функций. Асимптотические представления цилиндрических функций Бесселя, Неймана и Ганкеля при больших значениях аргумента.

Об интегральных представлениях функций Бесселя.

9 неделя.

В. Классические ортогональные полиномы

Нормальные системы попарно ортогональных полиномов. Основные общие свойства полиномов, образующих нормальную систему; теорема о нулях полиномов и их производных и рекурентные формулы.

10 неделя

Полиномы Лежандра и их основные свойства. Полиномы Лежандра как собственные функции краевой задачи. Равномерная ограниченность полиномов Лежандра на отрезке [-1, 1].

11 неделя

Полиномы Чебышева-Эрмита и их основные свойства. Полиномы Чебышева-Эрмита как собственные функции краевой задачи.

12 неделя

Полиномы Чебышева-Лаггера и их основные свойства. Полиномы Чебышева-Лаггера как собственные функции краевой задачи.

Г. Сферические функции

13 неделя

Простейшие сферические функции.

Присоединение функции Лежандра. Их ортогональность и норма.

14 неделя

Фундаментальные сферические функции. Их ортогональность и норма. Сферические функции n-го порядка. Шаровые функции и их связь с гармоническими полиномами.

15 неделя

Гипергеометрические функции и их простейшие свойства. Построение фундаментальной системы решений гипергеометрического уравнения в окрестности каждой особой точки. Вырожденные гипергеометрические функции.

Упражнения следуют за лекционным материалом.

Домашнее задание выдается на 1-ой неделе, принимается на 13-ой.

 

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1.	517, 517.6    А-85	Арсенин В.Я. Методы математической физики. М.: Наука, 2-е издание (1984).
2.	517.6  Т-46	Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Изд. 2-е (1966) и 4-е (1977). М.: Наука.
3.	517.6  Б-90	Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1972, 1980.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1.*	517.5 Н-62	Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций. М.: Наука, 1974.
2.*	517.5  Л-33	Лебедев Н.Н. Специальные функции и их применение. Изд. 2-е. М.: 1963.
3.*	517.6  Л-33	Лебедев Н.Н., Скальская И.Л., Уфлянд Я.И. Сборник задач по математической физике. М.: 1955.

* Книга находится в читальном зале